Geometrie

, původně věda o vlastnostech a vzájemných vztazích prostorových útvarů vzniklých abstrakcí z hmotných těles; základními geometrickými útvary jsou např. bod, přímka, rovina. Začátky geometrie lze nalézt už ve starověku, např. měření pozemků. Rozkvět geometrie (tzv. eukleidovské) nastal v Řecku (Thálés, Pýthagorás, Eukleidés), další rozvoj v novověku (R. Descartes, L. Euler, K. F. Gauss). Diskuse o platnosti pátého Eukleidova axiómu o rovnoběžkách dala podnět ke vzniku neeukleidovských geometrií (J. Bolyai, N. I. Lobačevskij). Oproštěním geometrie od vlastností založených na vzdálenosti vznikla afinní geometrie; vlastnosti neměnící se středovým promítáním zkoumá projektivní geometrie; zobrazovacími metodami se zabývá deskriptivní geometrie. Analytická geometrie studuje geometrické útvary pomocí elementární algebry; moderní algebraické metody vedly k rozvoji algebraické geometrie. Diferenciální a integrální geometrie studují geometrické útvary v prostoru i zakřivené prostory metodami matematické analýzy, funkcionální analýzy ap. Geometrické metody se stále více uplatňují v matematické fyzice i v technice.

Ottův slovník naučný: Geometrie

Geometrie, měřictví, jest nauka o veličinách a útvarech prostorových. Pojmu těchto útvarů nabýváme abstrakcí z předmětů hmotných. Nehledíme-li ku hmotě a máme-li z vlastností tělesa na zřeteli pouze jeho tvar, velikost a polohu, myslíme si těleso mathematické, kteréž tedy není nic jiného, než určitě a dokonale omezená čásť prostoru. Meze tělesa takového jsou plochy, meze ploch jsou linie, tyto pak omezeny jsou body. Body, linie, plochy a tělesa mathematická, jakož i různá jejich spojení a skupení, jmenují se útvary geometrické. Jsou to pojmy, které bytují toliko v naší mysli, kterých však nelze smysly postihnouti. Linie, plochy a tělesa jsou veličiny prostorové, a to o 1, 2, 3 rozměrech. Jednajíc o veličinách těchto, jest geometrie částí mathematiky, vědy o veličinách vůbec. Dle obsahu bývá rozeznávána geometrie nižší od vyšší. Nižší geometrie dělí se v planimetrii a stereometrii; první jedná o elementárních útvarech rovinných (body, přímky, úhly, úhelníky, kružnice), druhá o elementárních útvarech prostorových (skupení bodů, přímek a rovin, mnohohrany, mnohostěny, válec, kužel a koule). V oboru těchto útvarů koná své výpočty trigonometrie rovinná i sférická. Vyšší geometrie zabývá se hlavně theorií křivek rovinných i prostorových, jakož i ploch křivých; zkoumá z obecných hledisek útvary geometrické a vyšetřuje jejich vzájemnou souvislost, vytvořujíc jedny ze druhých anebo přetvořujíc jedny ve druhé. Dle methody, jimiž při výzkumech svých se řídí, a dle prostředků, jichž užívá, rozeznává se geometrie synthetická a geometrie analytická. První počátky geometrie hledati jest u starých Egypťanů, kde, jak Hérodot (II. 109) vypravuje, potřeba její vznikla měřením pozemků každoročně Nílem zaplavovaných. Mathematické vědomosti kněží egyptských sepsal asi v XIX. stol. př. Kr. Ahmes (Papyrus Rhind, nyní v britském museu). Geometrický obsah jeho díla záleží v úlohách o měření délek a o výpočtu obsahu plošného i tělesného. I za pozdějších dob nesly se konstrukce i výpočty harpedonaptů egyptských jen ku praktickým účelům zeměměřictví. Jiného rázu bylo geometrické vědění starých Babyloňanů, majíc původ svůj hlavně v astronomii. Znali vlastnosti rovnoběžek a pravého úhlu, dovedli sestrojiti pravidelný šestiúhelník a děliti kružnici na 360 stupňů. Tak na březích Nílu a Eufrátu spatřujeme vznikati počátky, z kterých však teprve duch řecký dovedl vypěstovati vědu; dal jí sice jméno nasvědčující empirickému původu jejímu (γη = země, μετρειν = měřiti), ale zároveň vytvořil v ní vzor nauky spekulativní. Nejstarší z geometrů řeckých, Thalés (640 – 548 př. Kr.), poznav vědomosti egyptské, rozšířil je vlastními objevy o rovnosti úhlů vrcholových, o úhlu obvodovém na průměru; z délky stínu určoval výšku předmětu. Hlavní však zásluhou jeho jest, že prvý učil věty geometrické dokazovati. Větší ještě vliv na rozvoj geometrie měl Pythagoras (kol 500 př. Kr.). Opatřiv si vědomosti geometrické jako Thalés cestou do Egypta, objevil pověstnou větu o čtverci přepony a rozšířil nauku o úměrnosti poznáním délek nesouměřitelných. V jižní Italii založil školu, z níž vyšla řada filosofů a mathematiků, jako. byli Filolaos, Archytas a j. Tito značně rozšířili obor geometrie naukou o rovnoběžkách, větou o součtu úhlů v trojúhelníku, vyšetřovánim trojúhelníků shodných a úhelníků obsahem rovných; znali též zlatý řez, vlastnosti pravidelných mnohoúhelníků a kruhu, jakož i pět pravidelných mnohostěnů, které jim byly symboly živlů kosmických. Ale i mimo školu tu geometrie se zdarem pěstována. Nebudeme zejména vyčítati zásluh, jichž sobě dobyli Anaxagoras, Démokritos, Hippias, Hippokratés, Oinopidés a j.; připomínáme toliko, že to byly hlavně tři proslulé úlohy, kterými se zabývali: zdvojení krychle, třetění úhlu a kvadratura kruhu. Vlastní však dobu rozkvětu geometrie řecké zahájil Platón (429 – 348), jenž zřídil v Athénách akademii, nad jejíž branou napsáno heslo: »Neznalý geometrie nevstupuj sem!« Zde vznikla a vyvíjela se methodika geometrie, kterou Platón obohatil o methodu analytickou a pojem místa geometrického. Z následovníků jeho Eudoxos nalezl, že jehlan jest třetinou hranolu, kužel třetinou válce o stejné základně a výšce; Menaichmos objevil kuželosečky a užil jich k řešení úlohy delické, Aristaios pak o nich napsal první dílo. Tak znenáhla nashromážděno hojně materiálu, který k soustavnému spracování takořka vybízel. Práci tu s neobyčejným zdarem vykonal Eukleidés (kol 300 př. Kr.), který snesl všechny elementárně geometrické vědomosti svých předchůdců, rozmnožil je výzkumy vlastními a s methodickou dokonalostí spořádal vše v učebnou knihu, zvanou »Základové«. Kromě tohoto slavného díla napsal ještě několik cenných spisů o jiných oborech geometrických a právem zasloužil si jména »otce geometrie«. Vědeckou původností vyniká nad něho Archimédés (287 – 212 př. Kr.), který s neobyčejným důmyslem dovedl vyšetřovati metrické vlastnosti křivek i křivých ploch; methodou exhaustiční ustanovil obvod i obsah kruhu, povrch i obsah válce, kužele a koule, plochu ellipsy a paraboly, vlastnosti spirály, obsah rotačního ellipsoidu a paraboloidu atd; objevů jeho v mechanice tuto zejména nepřipomínáme. K němu druží se Apollónios z Pergy (kol 200 př. Kr.), již v starověku »velkým geometrem« zvaný. Poznal, že rovinným průsekem kruhového kužele může vzniknouti každá ze tří křivek, které ellipsou, hyperbolou a parabolou nazval; vlastnosti jejich vyvodil s obdivuhodnou přesností methody a bohatostí výsledků ve spise »O kuželosečkách« Eukleidés, Archimédés a Apollónios, všichni tři ze školy alexandrijské, tvoří trojici největších geometrů starého věku. Po nich nastává doba nenáhlého úpadu řecké geometrie, doba epigonů a kommentatorů. Z doby té vynikají: Nikomédés, Dioklés a Perseus, kteří pěstovali nauku o křivkách; Hypsiklés, jenž doplnil Eukleidovu stereometrii; Hérón Alexandrijský (kol 100 př. Kr.), který jest hlavním zástupcem antické geodaesie. Z potřeb astronomických počal vznikati nový oddíl geometrie, trigonometrie, ku které základy kladli Hipparchos (161 – 126 př. Kr. ) a Menelaos (kol 100 po Kr.) a kterou ku značné výši vypěstoval Ptolemaios (125 – 200 po Kr.); jeho Almagest po staletí byl zdrojem nauk hvězdářských. Znamenitý kommentator Pappos (ku konci III. stol. po Kr.), který též některými důležítými objevy proslul, uzavírá dobu geometrie řecké. Světovládní Římané neměli hloubavého ducha řeckého; jim pro praktické potřeby stačila geometrie agrimensorů. Také Indové, jichž důmysl mathematický v arithmetice i algebře tak se osvědčil, vědomosti geometrické, přejaté ze školy Hérónovy, jen nepodstatně rozmnožili. Uprostřed mezi Řeckem a Indií založili říši svou Arabové, kteří přejali a spracovali vědomosti obou těchto národů. Překládali spisy geometrů řeckých, zabývali se pilně astronomií a zdokonalili trigonometrii. Založivše říši maurskou na poloostrově Pyrenejském, stali se prostředníky, jimiž vzdělanost orientu přenesena jest na západ, ze starověku přecházejíc ve středověk. Co se vědy geometrické týče, neučinila až do XVI. stol. značnějších pokroků. Teprve potom ujal se jí národ, který dovedl jí raziti a vykázati nové dráhy. Ve Francii zahájili dobu nového rozkvětu této vědy Vieta (1540 – 1603) a Fermat (1590 – 1663), kteří, ač vědeckou povahou vlastně algebraikové, i v geometrii dodělali se výsledků pozoruhodných; první řešením úlohy Apollónické a výpočty cyklometrickými i trigonometrickými, druhý svou methodou k stanovení tečen, k rektifikaci a kvadratuře křivek. Neobyčejným důmyslem geometrickým vyznamenal se Pascal (1623 – 1662), který objevil četné vlastnosti cykloidy a kuželoseček (hexagramma mysticum), a Desargues (1593 až 1662), jenž svým zvláštním pojímáním útvarů geometrických stal se jedním z připravovatelů novější geometrie synthetické. Mimo Francii Kepler (†1630) a Cavalieri (†1647) uvedli do stereometrie pojem veličin nekonečně malých, Guldin (†1643) pak založil výpočet povrchu a obsahu rotačních těles na úvahách o těžišti. Novou však dobu v geometrii zahájil Descartes (1596 – 1650), založiv geometrii analytickou. Tím dostalo se vědě nového mohutného prostředku, s kterým mohla odvážiti se na úkoly dosud neřešené. Na drahný čas bylo geometrii synthetické ve smyslu starých ustoupiti do pozadí, ačkoli jednotlivci i na dále se zdarem ji pěstovali. Tak Lahire (†1675) studoval kuželosečky a epicykloidy, Huygens (†1695) cykloidu a evoluty, Newton (†1727) a Maclaurin (†1746) vytvořování křivek vůbec. Velkolepým nálezem počtu infinitesimálného přišly methody analytické zvláště ku konci XVII. stol k výhradné téměř platnosti; jimi obecně řešeny úlohy o stanovení tečen i středů křivosti, o rektifikaci a kvadratuře křivek, o komplanaci a kubatuře ploch křivých; jimi objeveny nesčetné skryté vlastnosti těchto útvarů. Nelze tu jmenovati ani nejdůležitější z výsledků, k jakým dospěli Bernoulliové a jiní analytikové. Musíme však vzpomenouti zásluh, kterých získal si veliký Euler (1707 – 83), dav trigonometrii nynější její podobu, položiv základy obecné theorie křivek a klassifikace ploch 2. stupně, zvláště pak zbudovav theorii křivosti ploch. Ve směru takto nastoupeném nejvýše došel Monge (1746 – 1818); methodicky upravil analytickou geometrii a objevil netušený vztah mezi theorií ploch a rovnic differenciálných, jimiž vyšetřoval obecné čeledi ploch a stanovil jejich křivky křivostí. Dostoupivši takto na ten čas svého vrcholu, geometrie ze směru Descartesem nastoupeného obrátila se v nové dráhy – a to opět zásluhou Francouzů. Monge sám, stvořiv deskriptivní geometrii, přivedl k platnosti methodu, která názorně a bezprostředně útvary geometrickými se obírajíc, spojuje studium útvarů rovinných a prostorových. Vedle něho Carnot (1753 až 1823) svou geometrií polohy snažil se geometrii synthetické opatřiti touž obecnost, kterou honosila se dosud jen geometrie analytická. O dějinách geometrie mimo obecná díla o dějinách mathematiky jednají zvláště spisy: Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie (Brussel, 1837, 2 vyd. Paříž, 1875; něm. překlad od Sohncka Halle, 1839); týž, Rapport sur les progrès de la Géométrie (Paříž, 1870); Loria, Il passato e il presente delle principali teorie geometriche (akad. turinská, 1887; něm. př. od Schütteho v Lipsku, 1888). Pěstování geometrie v Čechách počíná založením university pražské (1348); hned od počátku konána tu čtení o této vědě v rozsahu na ten čas neobvyklém, tak že v Praze ku konci XIV. stol. podáváno z geometrie to, co na př. v Lipsku teprve v 1. pol. XVI. stol. Vykládán tu zejména již tehdáž Almagest Ptolemaiův; bakalářové university naší musili poslouchati »Tractatus de sphaera materialį, obsahující základy sferické astronomie; mistrové pak měli znáti nejenom prvních 6 knih Eukleidových, ale žádána na nich též »perspectiva com munis«. Křišťan z Prachatic (1392), Jan Šindel (1399), Jan z Blovic (1481), Tadeáš Hajek (1556), Martin Bacháček (1583) a jíní prosluli jako pěstitelé astronomie a spojené s ní geometrie, udržujíce výklady svými výbornou pověst Pražského učení. Úpadek náš pobělohorský přirozeně také tuto vysokou školu zachvátil; že však mathematická učenost u nás ani v době té zcela nezanikla, o tom svědčí jméno Marcus Marci (†1667), proslulé daleko za hranicemi vlasti naší. Připomenouti sluší, že v Praze tehdáž po delší dobu meškal a mathematice učil znamenitý geometr Belgičan Gregorius a Sancto Vincentio (†1667), kněz řádu tovařišstva Ježíšova. Pamětihodno též, že jesuité pro školy své v cizině rádi vybírali učitele z českých svých členů. Z nich Jakub Kreza (†1715) učil v Madridě a dosáhl tu čestného příjmí »Euclides Hesperiae«; v Praze vydal roku 1720 výborný spis »Analysis speciosa Trigonometriae Sphaericae«. K pěstování vědy geometrické jazykem českým došlo však teprve v našem století. Základ k tomu položil Sedláček záslužným dílem »Základové měřictví čili geometrie « (1822), v němž se zdarem užito nově utvořené české terminologie. Dlouho ovšem ještě literatura naše k vědeckým pracím v oboru geometrie se nepovznesla; hojná však jest literatura školska této nauky. Zahájena výbornou » Geometrií pro vyšší gymnasiæ (1864 – 67), kterou napsal Jandečka; později až do časů našich vydali učebné knihy geometrické pro střední školy: Šanda, Hoza, Jarolímek, Zahradník, Strnad, Dřízhal, Jeřábek, pro ústavy učitelské pak Domín a Janoušek. Ve vyšších oborech nauky počalo se pracovati po zřízení české polytechniky (1863), pro jejíž potřeby napsali knihy: Skřivan, Úvod do analytické geometrie v rovině (1864); Studnička, Základové sférické trigonometrie (1865) a Úvod do analytické geometrie v prostoru (1874). Od těch dob počaly se vydávati i samostatné spisy geometrické, z nichž jmenujeme tuto hlavní pořádkem chronologickým: Müller, O kvadratuře kruhu (1865); Em. a Ed. Weyr, Základové vyšší geometrie (3 díly, 1871-78); Vaněček, Křivé čáry rovinné i prostorové (1881) a O dějinách geometrie (1882); Jelínek, Úlohy tělesoměrné (1884); Šourek, Nauka o čtyrstěnu (1886); Monin, O některých druzích souřadnic projektivických (1890); Ed.Weyr, O theorii ploch (1891), Zdráhal, Úlohy z analytické geometrie (1892). – Z překladů uvésti jest české vydání spisu Cremonova Úvod do geometrické theorie křivek rovinných (1873) a téhož Geometrické transformace útvarů rovinných (1872); obé uspořádal Em. Weyr. Mimo to Bellavitis, Methoda aequipollencí (1874) v překladu dra Zahradníka. Dle prací Mannheimových vzdělal Vaněček Pošinování geometrických útvarův (1880). – Četná jsou i pojednání geometrická, která v Časopise pro pěstování mathematiky a fysiky, v zaniklém Dastichově Kroku a Wevrově Archivu, ve Zprávách král. české společnosti nauk a v Rozpravách České akademie, jakož i v programmech českých škol středních, uveřejnili různí badatelé, z nichž tuto jmenováni buďtež: Em. a Ed. Weyrové, Solín, Zahradník, Machovec, Jeřábek, Lerch, Pánek, Řehořovský, Strnad, Sucharda, Vaněček. Sd

Související hesla